流形学习 何晓飞 浙江大学 信息时代 机器学习问题 ? 何晓飞 信息 (训练集) ?: ? → ? 我们考虑的?和?往往 是欧氏空间 Manifold = Many + Fold, 很多曲面片的叠加 叠加但不是拼接，不自交 欧氏空间属于流形 任何一个流形都可以嵌入 到足够高维度的欧氏空间中 (Whitney嵌入定理) 流形（Manifold） 流形假设 真实数据是怎样的？ 外围欧氏空间的维度很 高 数据存在一定的低维内 在结构 我们假设数据是位于一 个低维子流形上 流形 我们的地球表面是二维流形 局部可以认为是欧氏空间 测地线 弯曲的’直线’，用来计算流形上两点的最短距离 球面上的测点线不是直线，因为直线根本不在球面上 流形的特殊性质 不满足平行公设: 存在过 空间中任意两点的平行 直线(测地线) 球面: 任意两条测地线(大 圆弧)都相交 测地三角形的内角和不 一定等于180度 1818年至1826年间，高斯曾测量在Harz山脉中由 Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看 其内角和是否等于180度。 流形的特殊性质 地球上总有一点是风平浪静的 基本概念：拓扑空间 Topological spaces are mathematical structures that allow the formal definition of concepts such as convergence, connectedness, and continuity. A topological space is a set X together with τ (a collection of subsets of X) satisfying the following axioms: The empty set and X are in τ. τ is closed under arbitrary union. τ is closed under
