纤维丛和规范场.pdf
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日耀九洲
2025-02-17
平行
空间
电子
性质
方向
运动
描述
作用
世界线
处于
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纤维丛与规范场
纤维丛与规范场
1、流形上的联络
在广义相对论建立以后，时空上的各种量的平行移动便不再是一个绝对的，
理所当然的性质了，而是在一定的规则下具有一定的选择规范性。而描述一个量
的平行移动最自然最一般的方式便是联络了。现在，我们的讨论不限于时空上，
而是一般光滑流形。所谓联络，顾名思义，便是联系不同点之间的量在某条路径
下平行移动的关系的一个流形结构。
更一般而言，我们描述物质或者物质场都是用的线性空间。比如，对于相对
论中的经典点粒子，描述其运动是用其四速度，当其四速沿其世界线平行移动时，
这条世界线便是该粒子实际的运动轨迹（当只考虑引力作用，而没有其余力的作
用时），这里需要的便是切空间在曲线下平行移动的性质。
现在，让我们来考虑电子，我们都知道，电子除了其轨道运动，还具有其一
个內禀性质：自旋。所以，描述电子运动，我们不仅需要用到切空间，还需要引
入一个描述自旋的空间，不仅需要知道切空间在某条曲线下平行移动的性质，还
需要知道电子自旋空间沿曲线平行移动的性质。简单来说，假如你手你拿着一个
电子，以你头顶作为 z轴，开始的时候，电子处于 z方向的本征态，当你经过某
个过程之后，它应该处于一个怎样的状态？这便需要知道电子内禀空间沿某条线
的平行移动的性质。根据局部等效原理，我们知道，对做测地运动（自由下落）
无自转观者，其局部范围内的所有物理过程和惯性系中的物理过程相同，那么，
我们很容易理解，在局部等效惯性系中，如果电子最开始处于 z方向的本征态，
在经历一段时间过后，它仍然还是处于 z方向的本征态。而对于这个 z方向，是
选取的是自由无自下落无自转观者的上方，z方向也是作为它世界线上的矢量，
并且这个矢量是沿其世界线平行移动的。那么，从刚才的分析，我们不难得出这
样一个结论，代表电子自旋的内禀空间的平行移动是依赖于、或者严格说是至少
部分依赖于切空间的平行移动。在后面的分析中，我们便能知道，确实只是部分
依赖于时空坐标，还有一个复相位部分是不依赖于时空的，是另一个自由的、满
足一定规范条件的平行移动分支，而正是由于它不依赖与时空切空间平行移动的
性质，才能让我们引入另外一种限制它平行移动的量：电磁相互作用。或者简单
来说，电磁相互作用存在的原因便是为了规范这种新的自由性。
在现代理论的研究
平行/空间/电子/性质/方向/运动/描述/作用/世界线/处于/
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